オペアンプの位相余裕とユニティゲイン周波数を2次系で求める方法

オペアンプの周波数特性を考えるとき、ゲインのボード線図を見ます。
「どの極をどこに置けば、ユニティゲイン周波数や位相余裕がどう決まるのか」
を直感的かつ定量的に理解することは、周波数特性の理解にとって重要です。

この記事では、オペアンプを2次遅れ系（2極モデル）で近似し、

ユニティゲイン周波数
位相余裕（Phase Margin）
極配置と安定性の関係

を、できるだけシンプルな数式で整理します。

オペアンプを2次遅れ系で表す
なぜ極配置が重要か
ユニティゲイン周波数を求める
位相余裕を求める
オペアンプのゲイン特性の設計例
数値計算で答え合わせ

オペアンプを2次遅れ系で表す

多くのオペアンプは、周波数特性を「支配的な2つの極」で近似できます。
このとき、開ループゲインは次式で表せます。

A(s)=\frac{A_0}{\left(1+\frac{s}{\omega_1}\right)\left(1+\frac{s}{\omega_2}\right)}

ここで、

$A_0$ ：DCゲイン
$\omega_1$ ：第1極
$\omega_2$ ：第2極

です。A(s)を図示すると以下の図になります。
また $s=j\omega=j2\pi f$ であることに注意してください。
ここでは第1極を10 Hz、第2極を1 MHzに置きました。

このモデルでは、周波数を上げるにつれて次のような変化が起こります。

第1極を超えると、ゲインは -20 dB/decade で低下し、位相は-90°回る
第2極を超えると、ゲインは -40 dB/decade で低下し、位相は-90°回る
位相は最終的に -180° に近づく

つまり、第1極と第2極の位置関係が、帯域と安定性を大きく左右します。

なぜ極配置が重要か

オペアンプでは、閉ループで安定に動作させるために十分な位相余裕が必要です。
一般に、位相余裕は60°以上あると扱いやすい設計になります。

2極モデルで安定性を確保する基本方針はシンプルです。

第1極は低い周波数に置く
→ 早い段階からゲインを下げる
第2極は十分高い周波数に置く
→ ユニティゲイン付近で余計な位相遅れを増やさない

要するに、ユニティゲイン周波数の近くでは、まだ“1極系に近い振る舞い”を保ちたいということです。

ユニティゲイン周波数を求める

オペアンプのゲインが1倍になる周波数を、ユニティゲイン周波数と呼びます。
これを $\omega_u$ とすると、次式が成り立ちます。

\vert A(j\omega_u)\vert = 1

2極モデルの大きさは次式で表されます。

\vert A(j\omega_u)\vert=\frac{A_0}{\sqrt{\left(1+\left(\frac{\omega_u}{\omega_1}\right)^2\right) \left(1+\left(\frac{\omega_u}{\omega_2}\right)^2\right)}} = 1

先述した「安定性を確保する基本方針」に基づくと、極の配置は原則として以下のように行います。

\omega_1 \ll \omega_u\ll\omega_2

この配置に基づくと、以下の2つの近似が成り立ちます。

1+\left(\frac{\omega_u}{\omega_1}\right)^2\approx\left(\frac{\omega_u}{\omega_1}\right)^2

1+\left(\frac{\omega_u}{\omega_2}\right)^2\approx1

この2つを $\vert A(j\omega_u)\vert$ に代入します。

\vert A(j\omega_u)\vert= \frac{A_0}{\sqrt{\left(\frac{\omega_u}{\omega_1}\right)^2*1}} = 1

この式から、 $\omega_u$ は次式で表されます。

\omega_u=A_0\omega_1

つまり、ユニティゲイン周波数は、DCゲイン $A_0$ と第1極 $\omega_1$ の積でほぼ決まるということです。

位相余裕を求める

最後にこの2次系の式から位相余裕を求めます。
はじめにユニティゲイン周波数のときの $A(j\omega_u)$ の位相を求めます。

\begin{align*} \angle A(j\omega_u) &= \tan^{-1}\left(\frac{A_0}{\left(1+\frac{j\omega_u}{\omega_1}\right)\left(1+\frac{j\omega_u}{\omega_2}\right)}\right) \\ &= -\tan^{-1}\left(\frac{\omega_u}{\omega_1}\right) – \tan^{-1}\left(\frac{\omega_u}{\omega_2}\right) \end{align*}

第1項は、先ほどの $\omega_u=A_0\omega_1$ を使うと、次式になります。
ここでは、A0がDCゲインで十分に大きいことを利用しました。

-\tan^{-1}\left(\frac{\omega_u}{\omega_1}\right)= -\tan^{-1}\left(A_0\right)=-90 ^\circ

第2項は、先程のユニティゲインの関係より、次式となります。

-\tan^{-1}\left(\frac{\omega_u}{\omega_2}\right)= -\tan^{-1}\left(\frac{A_0\omega_1}{\omega_2}\right)

したがって $A(j\omega_u)$ の位相は次式で表せられます。

\angle A(j\omega_u) = -90 ^\circ -\tan^{-1}\left(\frac{A_0\omega_1}{\omega_2}\right)

ここで位相余裕（PM）の定義は、ユニティゲインのときの位相と、-180 deg.の差分です。

\begin{aligned} PM &= \angle A(j\omega_u) – (-180^\circ)\\ &= -90^\circ – \tan^{-1}\left(\frac{A_0\omega_1}{\omega_2}\right) +180^\circ \\ &= 90^\circ – \tan^{-1}\left(\frac{A_0\omega_1}{\omega_2}\right) \end{aligned}

位相余裕も基本パラメータで表されることが分かりました。
この式からは以下の2つが分かります。

$A_0\omega_1$ が大きいほど、位相余裕は減る
$\omega_2$ が高いほど、位相余裕は増える

つまり、ユニティゲイン周波数を上げたいなら第1極を上げたくなるが、そのままだと位相余裕が減るため、第2極も十分高く確保しなければならないというトレードオフがあります。

オペアンプのゲイン特性の設計例

ここでは、次の仕様を満たすように設計してみます。

DCゲイン：120 dB( $A_0=10^6$ )
ユニティゲイン周波数：10 MHz
位相余裕：60°以上

使うのは導出した次の2つの式です。

\omega_u=A_0\omega_1

PM= 90^\circ – \tan^{-1}\left(\frac{A_0\omega_1}{\omega_2}\right)

これを設計条件に当てはめます。

10MHz = 10^6\omega_1

60^\circ> 90^\circ – \tan^{-1}\left(\frac{10^6\omega_1}{\omega_2}\right)

この2つを解くと、 $\omega_1=10\ Hz$ 、 $\omega_2\gt17.3\ MHz$ となります。

数値計算で答え合わせ

実際にこの近似設計で得られた $\omega_1$ 、 $\omega_2$ の2つの値を用いて、A(s)を数値計算してみました。

ユニティゲイン周波数は8.9 MHz、位相余裕は62.8 deg.となりました。
目標値の 10 MHz / 60° と完全一致ではありませんが、これは途中で近似しているためです。
特に、ユニティゲイン周波数が8.9MHzであるのに対して第2極の周波数が17.3 MHzです。
したがって、 $\omega_u\ll\omega_2$ が成り立っていないことが分かります。
ただし、ラフな見積もりとしては、今回導出した近似式は十分に使えそうです。

お疲れ様でした。